微积分学是现代数学的最主要基础之一，也是实际应用最为广泛的数学学科之一。

研究的对象：（实）函数。

基础方法（基本算法）：极限。

主要方法（主要算法）：求导、积分。

微积分学采用了一套极为独特的思想和方法，来研究函数的性质。这就是有限与无限辩证统一的思想和方法。

一、思想方法的基础

事物是有限与无限的辩证统一体。这正是微积分学得以成功的的客观基础。     

正方形面积S=44=16, 这个量目前采用的是有现形式。

分成n=7块儿， S=++…+=16,           （S改写成7个数之和）

分成n=12块儿，S=++…++…+=16,   （S改写成12个数之和）

分成n块儿，   S=++…+=16,           （S改写成n个数之和）

n=, , ,…..                        （S还是有限个数之和）

考察n+∞的过程，    （S不再是有限个数之和，而是无限多个数之和）

这时，S是有限、又是无限——是有限和无限的统一体。

极限，正是有限与无限统一的、最基础的数学概念。

在极限的基础上，建立了连续、导数、积分、级数等更为复杂数学概念。到了这个时候，很难再区分极限是一种思想、还是一种方法？

可以说，极限就是有限无限统一.

二、思想方法的意义

很多同学不理解：一个有限的东西，偏要把它搞成无限形式，何苦呢？

抽象地讲：有限领域，有自己特有的规律性；无限领域，也有独特的规律性。

实际地讲：有些问题，在有限领域无法解决，到了无限领域就容易了。

例如：圆的面积问题. （半径R）

把圆等分成n＝6个扇形，每个扇形用三角形近似：

              ＝RRsin             (：三角形面积)

              S6=3sin                 (S：圆面积)  

误差率：      ＝＝1-  17.30％  

把圆等分成n＝60个扇形.

               ＝RRsin

误差率：       ＝＝1- 0.18％   

把圆等分成n个扇形，考虑n      +∞ 的过程. 

＝RRsin

                n=sin

                = [sin]= [n sin]

=[2]=

=  

可见，n有限时，总有＝>0. 即用三角形面积和n近似圆面积S，总有误差！

n      +∞ 时，nS. 即n无限接近S.  这个过程，就是无限领域的规律性发挥了作用。

接下来的问题是：怎样计算＝？

我们知道：arctan1＝，是有限形式。

现在，想办法使它变成无限形式！

arctanx= x-+-…+(-1) n+…  (-1x1)  

取x=1得                   =1-+-…++…                （*）

（*）的意义之一：把有现形式改变成无限形式了。或者说，（*）揭示一个深刻的规律：“既是有限，又是无限！”

（*）的意义之二：它是一个工具，借助于计算机，求，实现“要多精确，就可以多精确！”

                        用Matlab计算的近似值